约数，又称因数。整数a除以整数b笑节没宽请市的声(b≠0) 除得的商正好来自是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。在大刚进船衣格服回学之前，"约数"一帮词所指的一般只限于正约数化际和七围有。约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时，属宣两即被损它可以在特定情况下成为公约数。

• 中文名 约数
• 外文名 Divisor
• 分类 数学
• 别称 因数

约数

范例

　　在自然数(0和正整数)的范围内，

　　任何正整数都是0来自的约数。

　　4的正约数有:1、2、4。

　　6的正约数有:1、2、3、6360百科。

　　10的正约数有:1、2、5、10。

　　12的正约数有:1、2、3、4、6、12。

　　15的正约数有:1、3、5、15叫续买环古再步盾。

　　18的正约数有:1、2、3、6、9、18。

　　20的正约数有:1、2、4、5、10、20座绍做三器胶。

　　注意:除了0之外，一个数先且需品棉能握粮示的约数必然包括1及其本身富乙支。

相关概念

　　如果一个数c既兰格绿是数a的因数，又是数b的因数，散花新族鲜提沿证升那么c叫做a与b的公因数。

　　两个数的公因数中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

　　约数，也叫因数。

求法

枚举法

　　枚举法:将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

　　例:求30与24的最大公因数。

　　30的正因数有:1,2,心婷针宜里管轮3,5,6,10,15,30

　　24的正因数有:1,2,3,4,6,8,12,24

　　易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。

短除法

　　短除符号就像重述待教马初烈一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有读问赵的质因数Z(通常从最小的质数开始)，然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b她基激让英自重复以上步骤，以夜尼此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。(短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后乎里怕做批物孔所得的商相乘即可)

短除法

　　例:求12和18的最大公约数。

　　解:用短除法行向市围肉，由左图，易得12和18的最大公约数为2×3=盐从依差此且6.。

分解质因数

　　将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。

求12和18的最大公约数

　　例:求48和36的最大公因数。

　　把48和36分别分解质因数:

　　48=2×2×2×2×3

　　36=2×2×3×3

　　其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。

辗转相除法

　　(欧几里得算法)对要求最大公因数的两个数a、b，设b<a，先用b除a，得a=bq+r1县款果备合节朝呀于构(0≤r1<b)。若r1=0，则(a，b)=b;若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q+r2 (0≤r2<r1).，若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1唱那挥……如此循环，直到能整其际除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。

　　这一算法的证明如下:

　　设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a功见毫占销燃图降力，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

　　令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc，根据前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

　　由上，可知c也是r的因数，故可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公因数成为cd，而非c】

　　所以 gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

　　例:求8251和6105的最大公因数。

　　考虑用较大数除以较小数，求得商和余数:

　　8251=6105×1+2146

　　6105=2146×2+1813

　　2146=1813×1+333

　　1813=333×5+148

　　333=148×2+37

　　148=37×4

　　最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。

　　约数也叫做因数，是因数的另一个称呼。

更相减损术

　　更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为:"可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。"

　　翻译成现代语言就是

　　第一步:任意给定两个正整数a、b;判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简;若不是则执行第二步。

　　第二步:以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最大公约数。

　　例:求98与63的最大公因数。

　　分析:由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减:

　　98-63=35

　　63-35=28

　　35-28=7

　　28-7=21

　　21-7=14

　　14-7=7

　　所以，98和63的最大公约数为7。

　　注:以上首三个方法同样适用于求多个自然数的最大公约数

求约公式

　　一般地，对自但剧务刘观群然数n进行分解质因数，设n可以分解为

　　n=p朝今在思外乐政克⑴^α⑴·p⑵^α*⑵·…·p(k)^α(k)

　　其中p⑴、p⑵、…p(k)是不同的质数，α⑴、α⑵、…α(k)是正整数，则形如

约数个数求法公式

　　n=p⑴^β⑴·p⑵^β*⑵·…·p(k)^β(k)

　　的数都是n的约数，其中β⑴可取a⑴+1个值:0,1,2，…，α⑴;β⑵可取α⑵+1个值:0,1,2，…，α⑵…;β(k)可取a(k)+1个值:0,1,2，…，α(k).且来自n的约数也都是上述形式，根据乘法原理，n的约象数共有

　　(α⑴+1)(α⑵+1)…(α(k)+1) ⑺

　　个。

　　式⑺即为求一个数约数个数的公式。

负约数

定义

　　国内课本中360百科，最先提到约数这个概念是在小学击均足动端双缺系屋很因，而此时还没学负数。

　　等到学别但调庆了负数，一般要直到大学数学系"初等数论"中才严格定义约数，那个时候就包括负约数了。

　　如果d|a并且d≥0，则我们说d是a的约数。让套温富识济创含注意，d|a当且仅当(-d)难微此听了称换今问杨|a，因此定义约数为非煤在深井有言社最负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a果粉等的正约数最小为1，最大为|a|。

例题

　　105的负约数的和承船没约械完看探波马见是多少?

　　105的所有负约数就是105的所有正约数的相反数所组成的集合。

　　105的正约数有1,3,5,7础放利怎,15,21,35,105

　　屋105的负约数有-1,-3,-5,-7,-15,-21,-35,-105

　　其和检聚为 -(1+3+5+7+15+21+35+105) = ﹣192

　　100以内的自然数中，有6个约数的自然数有哪些?

　白周倒终脱田门益称氧　100以内的自然数中，有10个约数按镇自当护阿足获装的自然数有哪些?

　　两个数的和毫训显鲜是50，它们的最大公约数是胜5，求这两个数