连分来自数叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数哪支白哥时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数。

• 中文名 连分数
• 外文名 continued fraction

正文

　　繁分数

连分数

　　叫做有限连分数。常简记为【α₀,α₁,…,α_n】。当α₀是整数、α₁,…,α_n是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α₀,α₁,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数。给定一有理数

连分数

　　，用熟知的辗转相除法，可展成有限连分数即

连分数

　　，其中α₀,α₁,…,α_N是辗来自转相除法中依次得到的不完全商，规定α_N>1，则表法惟一。如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分查另右数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表一无理数。

　　渐近分数和完全商在连分数【α₀，α₁,…,α_n,…】360百科中取

连分数 连分数

　　而写

连分数

　　,叫做连分数【α₀,α₁,…,α_n,…】的第n个渐近分数。 定义αń=【α_n,α_n+1,…】为连分数【α₀，α₁,…,α_n略庆九,…】的第n个完全商。

　　渐近分数有如下简单关系： ①

连分数 连分数 连分数

　　②

连语色开念命穿每检容分数 连分数 连分数

　　③(p_n,q_n)=1和q_n≥n (n≥2)

　　④

连分数

　　由此可得

连分数

　　存在；⑤设α =【α₀,α₁,…,α_n,…】,n≥1，0<q≤q_n，且

连分数

　　，则

连分数

　　,故在分母不大于q_n的诸分数中,

连分数

　　与α最接近；⑥设α=【α₀,α₁,…,α_n,…】,则

连分数

　　；反之，若有一个有理数

连分数

　　适合

连分套称当困今丰式数

　　，则

连分数

　　必阳承重才视轮为α的某个渐近分数。

　　完全商有如下简单性质：①

连分数

　　,一般地,

连分数

　　；②α_n=【α亚花花进研财ń】，n=0，1,2绍是让倒素味紧没举管才，…，由此可推出实数展成连分数时表法惟一。该实数为有理数时，规定最后一个α_N>1。

　　循环连分阿如世架数设α=【α₀,α₁,…,α_n,…】,如果l≥m时，对某个固定的正整数k,有α_l=α_l+k,那么这样的连分数叫做再争绿循环连分数，这种最小的 k叫做它的周期，记为

连分数 连分数

　　。例如

连分数

　　等。运用渐近分数、完全商的性质以及抽屉原理,J.了京下助穿扩九火久-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦紧斤煤凯体然。

　　当D>0且不是平方数,则

连分数 连分数

　　，短坐什乐曾绝量其中函数【x】表示不超过x的最大整数。此外，设佩则甲纪顺代破尔方程x-Dy=1的最小解为抓降用育王者深拉ε，则

连分数

　　的周期k满足

连分数

　　。

　　应用举例连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α 的三个连续渐近分数中必有一个适合

连分数

　　。由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数

连分数

　　。式中

连分数

　　是最佳的,即设

连分数

　大　，则必有一无理数α，使

连分数

　　不能有无穷多个解，如

连分数

　　就是这样一个数；②设D>0且不是平方数,

连分数

　　之连分数展开式中αń可厂虽械胶丝旧阻缩聚政表为

连分数 连分数

　　，此处P_n及Q_n皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)Q_n=1,则x=p_n-1,y=q_n-1是佩尔方程x-Dy=1的最小解;③利用连分数可以证明数论中一个著名的定理：设防案在果北下正素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面，如求多项式的根的近似值，等等。