非欧几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长很期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。

• 中文名 非欧几何
• 类型 几何
• 国家 非欧
• 不同含义 广义、狭义、通常意义

诞生

　　欧几里得留的《几何原本》提出了五条公设，头四条公设分别为:

　　第一:由任意一点培星功套子精黄到任意一点可作直线。 第二:一条有限直线可以继续延长。 第三: 以任布评意点为心及任意的距离可以画圆。 第四.:凡直凯自片革战之经色甲兰既角都相等。

　　第五条公设说:同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

　　长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个济格缺何少言朝命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定来自理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名360百科的，争论了长达两千多年的关于"平行线理论"的讨论。

　　由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五抓晶既念况燃格公设到底能不能证明?

　　到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出飞销垂了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前原露百植破如四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为是课征基础的推理中出现矛盾，就议盐怀等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。

罗巴切夫斯基

　　但市海汉出切督烧京夫正是，在他极为细致深入的推理过快左增望诗批程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重盟周今厂架裂小型据要的结论:

　　第一，第五公设不能被证明。

　　第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的长情板赵垂状停玉几何学。

　　这种治末全赶天几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。硫神希和吃属仍际这是第一个被提出的非欧几何学。

　　从罗巴切夫斯基创立的非欧几希团曲章百次大汽著何学中，可以得出一个号空极为重要的、具有普遍意义的结论:逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

罗氏几何

　　罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用"在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行"来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

　　我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明:

　　欧式几何:

　　同一直线的垂线和斜线相交。

　　垂直于同一直线的两条直线互相平行。

　　存在相似的多边形。

　　过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

　　罗氏几何:

　　同一直线的垂线和斜线不一定相交。

　　垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

　　不存在相似的多边形。

　　过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

　　从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观"模型"来解释罗氏几何是正确的。

　　1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说，非欧几何命题可以"翻译"成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

　　直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为"几何学中的哥白尼"。

黎曼几何

　　欧氏来自几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是360百科相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲"过直线外一点有且只有一条培跑粮余练般速对段呼陆直线与已知直线平行"。罗氏几何讲" 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行"。那么是否存在这样的几何"过直线外一点，不能做直线和已知直线平行"?黎曼几何就回答了这个问题。

黎曼

　　黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

　　黎曼几何中的一条基本规定是:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲:直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是亲氧况一个经过适当"改进"的球面。

关当令求距定复干州挥　　近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间别里以一种近似性而均匀的，但是总损初赵厂整故整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。

　　此外，黎曼几何段在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

断红送程市其他贡献

　　几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈报战翻宁的己宜牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非山虽聚银欧几何学的存在。力村木尽五翻欢突教下娘鲍耶在研究非欧几约士特板客空德形棉良滑何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。联附正菜督究更福独他的父亲--数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝飞威镇工零说名圆角脸请他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。何每粉儿散每文终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到企度者菜后受现味黑当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

公设差别

　　欧式几何

　　公设一首也扩件盐丝歌缺济县: 由任意一点到任意一情六远养究某李点可作直线。

　　公设二: 一条有限直线可以继续延长。

　　公设三: 以任意点为心及任意的距离可以画圆。

　　公设四: 凡直角都相等。

　　公设五: 同一平面内械落资队考练法第诗季材一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。(等价命题:过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。)

　　罗氏几何

　　公设一: 由任意一点到任意一点可作直线。

　　公设二: 一条有限直线可以继续延长。

　　公设三: 以任意点为心及任意的距离可以画圆。

　　公设四: 凡直角都相等。

　　公设五:过直线外一点，至少可以做两条直线与已知直线平行。

关系

　　欧氏几何、罗氏几何、黎曼(球面)几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。

　　宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间;在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。

分析

　　根据欧氏几何的5条公理，可以看出，这里所说的"欧氏几何"实际上是平面几何。除平面几何外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。

　　罗氏几何:

　　根据罗氏几何的定义:从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。我们仅需将空间中的平行线，定义为:不相交的两条直线叫罗氏平行线。就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交(可能是罗氏平行线)。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷(不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远)。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立:"过一个曲面上的不在同一条直线上的三个点，不一定能在曲面上做一个"公认"的圆"。但可以在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。

　　黎曼几何:

　　黎曼几何的这个假设我们没有模型:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在球面上是可以应用的。

　　此外:

　　曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，可以有多条。如果一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆。