按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{a n } 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作来自该数列的通项公式。这正如360百科函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应a 花n 项的值。

• 中文名 数列通项公式
• 定义 按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{a n } 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。
• 求值方法 等差数列和等比数列
• 常用公式 累加法，累乘法，构造法，待定系数法，特征根法，连加相减，连乘相除

基本简介

　　按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{a n } 的第n项用一个具体式子（含有参来自数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应a n 项的值。

　　而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得故洋改农体真轮夜真到。

求值方法

等差数列

　　对于360百科一个数列{a n }，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为 d ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 S n 。

等差数列a盐总细n的首项为a

　　那么 ， 通项公式原易示话展武此高底格艺为

　　，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

　　将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关的项 ，最终等式左边余下a n ,而右边则余下 a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。

　　此外， 数列前 n 项的和

　　，其具体推导方式较简单，可用以上欢更过继类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

　　单值得说明的是，

　　，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a 1 为首项，以 d /2 为公差的新数列，利用这一特点可日片校阳以使很多涉及Sn 的数列问题迎刃而解。

等比数列

　　对于一个数列 {a n }，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一单烈皮迫个常数，那么该数列适耐小斤用为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 T n 。　　那么， 通项公式为

通项公式

　　(即a1 乘以q 图谁的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：

　　a 2 = a 1 *q,

　　a 3 = a 2 *q,

　　a 4 = a 3 *q,

应响孔底冷宪伯下走印　　````````

　　a n = a n-1 *q,

　　将以上（n-1皮周民乡何丝房厚)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也失振即得到了所述通项公式。

　　此外， 当q=1时 该数列的前n项和 Tn=a1*n

　　当q≠1时 该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).

一阶数列

概念

　　不妨将数列递推公式中同时含有 a n 和a n 1 的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为

　　a n 哥相医治状优=（ a n-1 ）   d , 而等比数列的递推式为 a n = a n-1 *q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数来自列形式为： a(n 1) = A *a 约室续注阶说特刻否n   B ········☉ 弱松给试复香志女, 其中A和B 为常系数。那么，等差360百科数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

思路

　　基本思路与方法： 复合变形为基本数列（等差与等比）模型 ； 叠加消元 ；连乘消元

　　思路一： 原式复合 （ 等比形式）

　　可令 a(n 1) - ζ = A * (a n - ζ )········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值， 整理①式 后得 a(n 1) = A*an  ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，

　　ζ - A*ζ = B

　　即解出 ζ = B / (1案百均艺威坏学厂依-A)

　　回代后，令 bn= an - ζ ,那么①式就化为 b(n 1) =A* b n , 即化为了一个以（a1-ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn审南富底氧弱议形轴的通项公式，进而求出 {an急孩啊故鲜谓光为甲并才} 的通项公式。

　　思路二： 消元复合（消去B）

　　由 a(n 1) = A *a n   B ········☉ 有

　　a n = A* a(n-1)  B ··········◎

　　☉式减去◎式可得 a(n 1) - a n = A *（ a n - a(n之-1））······③

　　令 b千创双急用州在统影音n = a(n 1) - an 后， ③式变为 bn = A* b(n-1) 等比数列，可求出 bn 的通项公式，接下来得到 a n - a(n-1) = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数）的式子， 进而使用叠加方法可求出 an

二阶数列

概念

　　类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有a(n 2) 、a(n 1)、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：

　　a(n 2) = A * a(n 1)  B * a n , （ 同样，A，B常系数）

求法

　　基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察终待定系数和相应的项

　　原式复合： 令 原式变形后为这种形式 a(n 2) - 斯掌立许搞ψ * a(n 1) = ω (a(n 1) - ψ*an)

　　将该式与原式对比 ，可得

　　ψ   ω = A 且 -（ψ*ω）= B

　　通过解这两式可得出 ψ会厂常论似朝明害与ω的值，

　　令bn=a(n 1) - ψ*an, 原式就变为 b(n 1) = ω * bn 等比数列，可求出bn 通项公式bn = f (n) ，

　　即得到 a(n 1) - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶条飞益院牛空数列的定义，即只含有a(n 1)和an 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。

常见公式

累加法

　　递推公式为a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和

　　例：数列{应屋费余指an}，满足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通项公式

　　解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=a就住热集节座止女三n+[1/(2n-1)-1线兵行格始走乡/(2n+1)]/挥既易书坚构2

　　∴an=a1+(1封还展改究补-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

　　∴an=1/2+1/2 攻须(1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

累乘法

　　递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积

　　例：数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an

　　解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)

构造法

　　将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

　　适当的进行运算变形

　　例：{an}中，a1=3,a(n+1)=an^2,求an

　　解：ln a(n+1)=ln an^2=2ln an

　　∴{ln an}是等比数列，q=2，首项为ln3

　　∴ln an =(2^(n-1))ln3

　　故an=3^[2^(n-1)]

　　倒数变换法(适用于a(n+1)=Aan/(Ban+C),其中，A、B、C∈R)

　　例：{an}中，a1=1，a(n+1)=an/(2an+1)

　　解：1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2

　　∴{1/an}是等差数列，首项是1，公差是2

　　∴an=1/(2n-1)

待定系数法

　　A.递推式为a(n+1)=pan+q(p，q为常数)，可以构造递推数列{an+x}为 以p为公比的等比数列，

　　即a(n+1)+x=p(an+x)，其中x=q/(p-1) (或者可以把设定的式子拆开，等于原式子)

　　例：{an}中a1=1，a(n+1)=3an+4,求an

　　解：a(n+1)+2=3(an+2)

　　∴{an+2}是等比数列 首项是3，公比是3

　　∴an=3^n-2

　　B.递推公式为a(n+1)=pan+q^n(p，q是常数)

　　常规变形，将两边同时除以q^(n+1),

　　得到a(n+1)/q^(n+1)=p/q an/q^n+1/q

　　再令bn=an/q^n,

　　可以得到b(n+1)=kbn+m(k=p/q , m=1/q)

　　之后就用上面A中提到的方法来解决

　　C.递推公式为a(n+2)=pa(n+1)+qan,(p，q是常数)

　　可以令a(n+2)=x^2 , a(n+1)=x , an=1

　　解出x1和x2，可以得到两个式子

　　a(n+1)-x1an=x2(an-x1a(n-1))

　　a(n+1)-x2an=x1(an-x2a(n-1))

　　然后，两式子相减，左边可以得出kan来(k为系数)

　　右边就用等比数列的方法得出来

　　例：{an}中，a1=1,a2=2,a(n+2)=2/3 a(n+1)=1/3 an

　　解：x^2=2x/3=1/3

　　x1=1,x2=-1/3

　　可以得到方程组

　　a(n+1)-an=-1/3 (an-a(n-1))

　　a(n+1)+1/3 an=an+1/3 a(n-1)

　　解得an=7/4-3/4×(-1/3)^(n-1)

　　D.递推式a(n+1)=pan+an+b(a，b，p是常数)

　　可以变形为a(n+1)+x(n+1)+y=p(an+xn+y)

　　然后和原式子比较，可以得出x，y，

　　即可以得到{an+xn+y}是个 以p为公比的等比数列

　　例：{an}中，a1=4， an=3a(n-1)+2n-1(n≥2)

　　解：原式=>an+n+1=3[a(n-1)+(n-1)+1]

　　∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6

　　∴an=2×3^n-n-1

特征根法

　　递推式为a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D) (A，B，C，D是常数)

　　令a(n+1)=an=x,原式则为x=(Ax+B)/(Cx+D)

　　(1)若解得相同的实数根x0，则可以构造数列{1/(an-x0)}为等差数列

　　例：{an}满足a1=2，a(n+1)=(2an-1)/(4an+6),求an

　　解：x=(2x-1)/(4x+6)

　　解得x0=-1/2

　　1/(an+1/2)=1/[(2a(n-1)-1)/(4a(n-1)+6) +1/2]=1/[a(n-1)+1/2] +1

　　∴{1/(an+1/2)}是等差数列，d=1，首项是2/5

　　∴an=5/(5n-3) -1/2

　　(2)若解得两个相异实根x1,x2,则构造{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列(x1,x2的位置没有顺序，可以调换)

　　例：{an}满足a1=2，a(n+1)=(an+2)/(2an+1)

　　解：由题可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [a(n-1)-1]/[a(n-1)+1]

　　则{(an-1)/(an+1)}是等比数列，q=-1/3，首项是1/3

　　∴an=[1+(-1)^(n-1) (1/3)^n]/[1-(-1)^(n-1) (1/3)^n]

　　(3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列

　　例：{an}中，a1=2,满足a(n+1)=(an-1)/an(n≥2)

　　解：a1=2 , a2=1/2 , a3=-1 , a4=2 , a5=1/2 ……

　　所以an=2(n MOD 3=1)，1/2(n MOD3=1)，-1(nMOD3=0)

　　(准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示)

连加相减，连乘相除

　　例：{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

　　解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

　　nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

　　∴an=3(n+1)