切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代来自数、物理向量、量子力学360百科等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。

• 中文名 切线方程
• 外文名 Equation of the tangent line
• 证明方法 向量法
• 类别 数学领域

证明:

向量法

　　设圆上一点A为(x0,y0),则该点与圆心O的向量OA(x0-a,y0-b)

　　话感鱼程船观明序祖因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.

　　设直线上任意点B久速强为(x,y)

　　则对于直线方向上的向量AB(x-x0,y-y0)

　　有向量AB与OA的点积

　　AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)

　　=(x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)

　　=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0

　　代黄苏宪节体父故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^创请画型上远六江目例企2+(y0-b)^2=伯r^2

分析-解析法

　　设圆上一点A为(x0,y0),则有:(x0-a)^2+(y0-b)^2=r来自^2

　　对隐函数求导，则有:

　称工妒现任封体还造烈商　2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0

　　dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k

　　(隐函数求导味已征措严取虽著听用法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同)

　　或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;(k1为与切线垂直的半径斜率。)

　　得k=(a-x0)/(y0-b) (以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况)

　　所以切线方程可写为:y=(a-x0)/360百科(y0-b)x+B

　　将点(x0,y0),可求出B=设皮宽太文与英(x0-a)x0/(y0-b)+y0

　　所以:

　　论工合响正y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0

　政画并肉许　(y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0

　　(y0-b)(月亚八又湖家背只妈历济y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2

　　(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2

　　当全刘重持北且论问色称斜率不存在时，切点为与帮易队苗简积州各x轴平行的直线过圆心与圆的交点。

　　此类切点有2个，不妨设为M(a-r,b);N(a+r,b)

　　(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2

　　将2点带入上式，亦成立。

　　故得证。

常见切线方程证明过程

圆

　　若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,，

过圆外一点的2条切线

　　则过点M的切线方程为

　　x0 x + y0 y + D*(x+x0)/2 + E*(y+y0)/2 + F =0

　　或表述为:

　　若点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，

　　则过点M的切线方程为

　　(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b重负)=r^2

　　若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，

　　则切点AB的直线方程也为

　　(x-a)(x0讲句略行路-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

椭圆

　　若椭圆的方程为x^2煤/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在椭圆上，

　　则扩促乐封过点P椭圆的切线方程为

　　(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1.★yanji

　　证明:

　　椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ...(1)

　　对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y, 即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,

　　故切线方程是y-无亲容你技走极目略y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。

双曲线

　　若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在双曲线上，

　　则过点P双曲线的切线方程为

　　(x·x0)/a^2 - (y·y0)/b^2=1..★

　　此命题的证明方法与椭圆的类似，故此处略之。

抛物线

　　若抛物线的方程为y^2=2px(p>0), 点P(x0，y0)在抛物线上，则

　　过点P的抛物线的切线方程为

　　y·y0 = p·(x+x0)

　　此命题的证明方法亦与椭圆的类似，可设切线方程为y-b=k(x-a)

　　联立切线与抛物线。

　　y=k(x-a)+b

　　则

　　[k(x-a)+b]^2-2px=0

　　整理得

　　k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0

　　因为为相切，所以

　　△=0

　　则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0

　　可求得k=p/b。

　　代回y-b=k(x-a)

　　y=p(x-a)/b+b

　　曲线的切线方程也可以用导数求解。

　　更为简便的计算方法:

　　设切线方程为x-a=m(y-b)，联立切线与抛物线

　　y^2-2pmy+2pmb-2pa=0

　　△=0，p^2m^2-2pbm+2pa=0，解得m=b/p

　　切线方程:x-a=b/p(y-b),化简得by=p(x+a)

　　微积分方法:

　　在M(a,b)点斜率为

　　求导:

　　2yy'=2p

　　代入点(a，b)

　　则y'=p/b

　　所以切线为:y=p(x-a)/b+b