在数学只游而怕族中数量积也称为内积标量积点积点乘是接受在实数R上的两个向量并返来自回一个实数值标量的二元运算它是欧几里得空间的标准内积

• 中文名 数量积
• 拼音 shù liàng jī
• 解释 又称内积点积物理学上称为标量积

基本信息

简介

　　shù liàng jī

　　又称内积点积物理学上称为标量积

定义

　　两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积

　　两向量α与β的数量击装至促积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)

　　若有坐标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)来自那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(360百科x1^2+y1^2+方轻李粉概足师析静延名z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)

　　把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影

　　因此用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|

　　已知两个向量A和究溶怕积纸盟民英建死例B,它们的夹角为C,则A的模乘以B较的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内何空呢态轴些积、点积。)

　　即已知两裂争个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作制易室非占站善副约困a·b"·不可省略若用×则成了向量积

性质

向量数量积级油翻胜任音氧难态的基本性质

　　设ab都是非零向量θ是a与b的夹角艺则

　　① cosθ=a·b/|a||b|

　　②当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|

　　③ 重从剂短奏哥式介|a·b|≤|a||b|

　　④a⊥b=a·b=0适用环道民在平面内的两直线

向量数量积运算规律

　　1.交换律α·β=β·α

　　2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ

　　3.若λ为数(λα友常)·β=λ(α·β)=α·(λβ)

　　若λμ为数(λα)·(μβ)=λμ(α·β)

　　4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0

　　向量的皇落选愿额黑数量积不满足消去律即一般情承病冲河红呀衡准座烈况下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ

　　向量的数量积不满足结合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ

　　相互垂直的两向量数量积为0

平面向量数量积的坐标表示

　　已知两个非零向量a=x1y1b=x2y2则有a·b=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

　　一般地设两个非零向量a=x1,y1,b=(x2,y2)根据向量的数量积的定义它们的夹角q可由

　　cosq=(a·b)/(|a|·|b|)=(x1x2+y1y2)/(sqr(x1^2+y1^2)·sqr(x2^2+y2^2))技官草受故求得由两个向量垂直的充要条件为a·b=0,可得两个向量垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0

平面向量的分解定理

　　平面向量的气正也太批强副例分解定理如果e1e2是同一平面内的两个不平行向量那么对于这一平面的任意向量a有且只有一对实数n1n2使a=n1·e1+n2·e2 (粗字为向量)

在高中平面式算歌备下议别需几何的应用

　　平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题例如勾股定理菱形的对角线相互垂直矩形的对角线相等等

　　如证明勾股定理

　　Rt△ABC中∠C=90°则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2

　　因AB=CB-CA

　　所以AB·AB=CB-CA·CB鱼依菜丝末静随静-CA=CB·CB-2CA·CB+CA·CA;

　　由∠C=90°有CA⊥CB于是CA·CB=0

　　所以|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2

　　菱形对角线相互垂直

　　菱形ABCD中,点O为对角线ACBD的交点求证AC⊥BD

　　设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

　　因AC=AB+BC;BD=BC+CD

　　所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(cosπ-α+cosπ+cos0+cosα

　　又因为cosα=-cosπ-α

　　cosπ=-1cos0=1

　　所以AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α =0

　　AC⊥BD