公式的应用不仅可从左到右的来自顺用（多项式乘法），完还可以由右向章改委预束具晶件教左逆用（因式分解).（因式分解与多项式乘法为逆运算）；要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等。

• 中文名 乘法公式
• 完全平方公式 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2
• 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2

乘法来自公式

　　⒈ 公式的应用不仅可从左到右的顺用（多项式乘法），还可以由右向360百科左逆用（因式分解).（因式分解与多项式乘法为逆运算）

　　要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等。

乘法公式

　　基本公式

　　⒉ 基本公式就是最常用，最基础的公式，可以由此而推导出其它公式.

　　完全平方公式非丝因：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，

　　平耐首纸胞令聚析治束方差公式：(a+b)(a手万终么难压-b)=a^2-b^2，

提胶四　　立方和（差）公式：(a+b)(a^2－ab+b^2）=a^3+b^3，（a－b)(a^2+ab+b^2）=a^3－b^3

　　执给答想际求劳圆完全立方公式：（a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2；±b^3，

　岩板贵行　三数和平方公式：（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，

　　欧拉公式：（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc）=a^3+b^3+c^3-3群令析席静车abc

公式推广

　　①多项式平方公式:(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。

　　即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项安积的2倍。

　　②二项式定理:(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3，

　　（a±b)^4=a^4±4a^3b+6a^2b^2±4ab^3+b^4，

　　（a±b)^5=a^5±5a^4b+10a^3b^2 ±10a^2b^3+5ab^4±b^5，

　　…………

　　（a+b）

　　=a^n+Cn1*a^(n-1）*b+Cn2*a^(n-2）*b……2+……+尔顾变煤Cn(n-1）*a*b^(杆历n-1）+b^n.

　　注意观察右边展开式的项数，指数态年，系数，符号的规律，见杨辉三角。

　　杨辉三角，优按端封散烈职卷压苏年又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形调纸听非制虽球报围专调中的一种几何排列。  

　　③由平方差，立方和（差）公式引申的公式

　　（a+b)(a^3-a^刘免传钱按2b+ab^2-b^3）=a^4-^b^4，

　　（脚晚境责肉少季权使a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b4）=a^5+b^5，

　　（a+b)(a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4-b^5）=a^6-b^6，

　　…………

　　注意观察左边第二个因式的项数，指数，系数，符号的规律。

　　在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

　　⑴（a+b)[a^(2n-1)-a^(2n-2)b+a^(2n-3)b^2-…+ab^(2n-2)-b^(2n-1)]=a^2n换法来件附室容体已-b^2n，

　　⑵（a+b)[a^2n-a^(2n-1)b+a^(2n-2)b^2-…-ab^(2n-1)+b^2n]=a^(2n+1)+b^(2n+1)，

　　类似地：

　　⑶（a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^背慢沙操盐祖京为(n-3)b^2+…+至助了殖气振承丝又底剧ab^n-2+b^(n-1）]=a^n-b^n。

　　变形及逆运算

　　由（a+b)^2=a^2+2ab+b^2 得 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab；（a-b)^2=(a+b)^2-4ab。

　　由 (a+b)^3=a^3+3a²b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b）得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b）。

　　由公式的推广可知：当n为正整数时，an-bn能被a-b整除；

　　a2n+1+b2n+1能被a+b整除； a2n-b2n能被a+b及a-b整除。

　　乙 例题

　　例1.己知：x+y=a,xy=b。

　　63

　　求：①x2+y2 ; ②x3+y3 ; ③x4+y4; ④x5+y5.

　　解：①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b;

　　②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab;

　　③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2）-6x2y2=a4-4a2b+2b2;

　　④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4）

　　=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2）+x2y2]

　　=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]

　　=a5-5a3b+5ab2.

　　例2.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.

　　证明：设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3. (a为整数）

　　a(a+1）（a+2）（a+3）+1=a(a+3）（a+1）（a+2）+1

　　=(a2+3a)(a2+3a+2）+1

　　=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1

　　=(a2+3a+1）2。

　　∵a是整数，整数的和，差，积，幂也是整数。∴a2+3a+1是整数。

　　例3.求证：2^222+3^111能被7整除。　证明：2^222+3^111=（2×2）^111+3^111=4^111+3^111。

　　∵a^（2n+1）+b^（2n+1）能被a+b整除，（见内容提要4）

　　∴4^111+3^111能被 4+3整除。

　　∴2^222+3^111能被7整除。

　　（扩展） 快速判断一个整数是否可以整除另一个整数

　　如x=2368，则x1=8，x2=6，x3=3，x4=2

　　则有如下公式：

　　x%m=(x1 +101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m

　　其中%表示求余数的符号

　　公式证明

　　依据余数的两个定理

　　（m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率）

　　（m*n)%k=((m%k)*n)%k （交换率）

　　则 x%m

　　= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1）%m

　　= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m

　　= (x1%m+ （10%m*x2）%m + （102%m*x3）%m +（10n-1%m*xn)%m)%m

　　= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m

　　所以公式得证

　　例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律。

　　解：∵（10a+5）^2=100a^2+2×10a×5+25=100a(a+1）+25。

　　∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：

　　幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数的十位上数

　　字a乘以（a+1）的积。

　　例如：15^2=225，幂的百位上的数字2=1×2；

　　25^2=625,6=2×3；

　　35^2=1225,12=3×4；

　　……

　　105^2=11025,110=10×11。

　　平方差公式

　　由多项式乘法得到(a+b)(a－b) =a²－b².即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

　　特征

　　①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

　　②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；

　　③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

　　④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．

　　完全平方公式

　　由多项式乘法得到（a±b）^2=a^2±2ab+b^2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.推广形式：（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

　　特征

　　（a+b）^2=a^2+2ab+b^2与（a－b)^2=a^2－2ab+b^2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．

　　①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．　②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．

　　③对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．

　　④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.

　　主要变式

　　⑴a2－b2=(a+b)(a－b);

　　⑵（a+b)2－（a－b)2=4ab;

　　⑶（a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2）；

　　⑷a2+b2=(a+b)2－2ab=(a－b)2+2ab

　　⑸a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

　　⑹a^n-1=(a-1）（a^(n-1）+a^(n-2）+.....+a+1）

　　熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．

　　注意：

　　⑴公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式.

　　⑵乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.

　　⑶这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.

　　计算

　　⑴（3a+2b）（2b－3a）；⑵（x－2y）（－x－2y）；⑶（a+b+c)(a－b－c）分析：

　　相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.

　　第⑴题的相同项是2b，相反项是3a与－3a.

　　第⑵题可以按第⑴题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算.

　　第⑶题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式.

　　解：

　　⑴原式=（2b +3a）（2b－3a)

　　=（2b)^2－（3a)^2

　　=4b^2－9a^2

　　⑵原式=（－2y+x）（－2y－x)

　　=（－2y)^2－x^2

　　=4y2－x2

　　⑶原式=[a+(b+c)][a－（b+c)]

　　=a^2－（b+c)^2

　　=a^2－（b^2+2bc+c^2）

　　=a^2－b^2－2bc－c^2

　　⑴98×102；⑵99×101×10001.

　　分析：

　　将98写成100－2，102写成100+2，第⑴题即能用平方差公式计算；同理将99写成100－1，101写成100+1，第⑵题也可用平方差公式计算：

　　解：

　　⑴98×102=（100－2）（100+2）

　　=10000－4=9996

　　⑵99×101×10001=（100－1）（100+1）×10001

　　=（10000－1）（10000+1）

　　=100000000－1=99999999