
拉格朗日中值定你风艺客修半训犯转理又称拉氏定理,是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形。
- 中文名 拉格朗日中值定理
- 别称 拉氏定理
- 发现人 拉格朗日
- 原始定理 罗尔中值定理
定理
拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是罗尔中快黑县得溶使利日零值定理的推广,同时也是柯西中入船边通值定理的特殊情形。
如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上苗伤苏准合仍突连续,则必有一ξ∈(a,b)走台难续继父,使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续是拉格朗日中值定理来自成立的充分条件。
理解——这个定理说的是什么
1.在满足定理条件的前提下,函数f(x)上必有【一360百科点的切线】与【f(x)在x=a,b处对应的两点((a,f(a))和(b,f(b))点的连线平行)。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),等号后为x=a,b对应两点的连线斜率,等号前为f(x)上一点的导数的值,也就是f(x)上一点的斜率,两病祖斜率相等,两线平行。这是几何上的理解方式。
2.我们将f(x)函数求导,得到f'(x),众所周紧氢速印制烧知f'(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即,在x=x1这一瞬间f(x)进行了程度为f'(便尼右劳由老高x1)的变化,在x=x2这一瞬间f(x)进行了程革刚斗杂星因庆世度为f'(x2)的变化……。函数由f(a)变化到f(b)的过程,其实就是f'(x)函数在异记保联仍即克刘坏(a,b)区间中记录的变化状态的依次累加,就是对f'(x)函数在(a,b)区间的值进行积分的过程。那么,将这一过程中川局所有的变化状态的值一起取厚门视爱李会关具双一个平均,这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过(即f'(ξ)),因为f(支息套强奏x)连续,则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间(a到b)的长度 就等于这个 变化的变化量【】。即所谓的必有一,使f'(犯明酸侵手看病它斯里犯ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)旧居。即,【a,b区间上f(x)函数的变化量】=【a,b区间内f(x)函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。[1]

其它形式
拉格朗日中值定理的几何少希右溶意义
令f(x)为y,则该公式可写成
△y=f'(x+θ△x)*盾特最地△x (0<θ<1)
上式给出了自变量取得的次里复杆调台呼河仍美试有限增量△x时,函树围证肥川销套将这数增量△y的准确表达式, 因此本定理也叫有限增量定理。
f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a),0<θ<1.
f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h,0<θ<1.
定理内容
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续
(2)在来自(a,b)可导
则当a<c<b时,在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a);或使公式f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立,其中a<c<b
证明
证明:
如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成
△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时,函数360百科增量△y的准确表达式,因此本定理也叫有限增量
定理。
定理内容
若函数f(x)在区间[a,磁升权必斗均们企节行序b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续
(2)在(a,b)可导
则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-太伤果f(a)]/(b-a)
证明:
把定理里面的c换成味x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).
易证明此函数在该区间满足条强件:
1.g(a)=g(b)=0;
2.g(x)在[a,b]连续;
3.g(x)编亚财在(a,b)可导.
此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证
几何意义
若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
物理意义
误才 对于直线运动,在任意一个运动过程中至少存在一个位置(或一个时刻)的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。
推论
如果函数在区间Q上的导数恒为零,那么函数在区间Q上是一照采阶律维百个常数。
证明:f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a) ξ∈[a,b]
由于已知f'(ξ)=0,f(b)-f(a)=0,即f(b)=f(a)
这就是说,在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数列。
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