弦切角定理:弦切角字果室将友社的度数等于它所夹的弧来自所对的圆心角度数的一360百科半，等于它所夹的读数改古丝道弧所对的圆周角度数。

(与沙李接育正圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。)

• 中文名 弦切角定理
• 外文名 Alternate Segment Theorem
• 应用学科 数学
• 适用领域范围 数学

弦切角定义

　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

　　如图所示，线段PT所在的直盟件玉较松校护织线切圆O于点C，B盐苏呀精话新脸全外丝C、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理

概念及其证明

　　弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

　　等于它所夹的弧的圆周角度数。

　　如上图，已知:直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

　　求证:∠TCB=1/2∠B现地协但掌触陈得粮OC=∠BAC

　　证明:设圆心为O，连接OC，OB,。

　　∵∠OCB=∠OBC

　　∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

　　又∵∠BOC=2∠BAC

　　∴∠OCB=90°-∠BAC

　　∴∠BAC=90°-∠OCB

　　又∵∠TCB=90°-∠OCB

　　∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

　　综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

衍生问题及其证明

　　已知:AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.

　　求证:弦切角∠BAC的度数等于它所夹来自的弧的度数的一半

　　证明:分三种情况:

　　(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

　　∵AC为直径

　　∴弧CmA=弧CA

　　∵弧CA为半圆,

　　∴弧CmA的度数为180°

　　∵AB为圆的切线

　　∴∠正思依CAB=90°

　　∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

　　(2)圆心O在∠BAC的内部.

　　过A毛源福管作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，

　　连接EC、ED、360百科EA。则

　　∵弧CD=弧CD

牛负境方黄站企搞继帝　　∴∠CED=∠CAD

　　∵AD是圆O的直径

　　∴∠DEA=90°

　　∵AB为圆的切线

　　∴∠BAD=90°

　　∴∠DEA=∠BAD

　　∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CA司D+∠BAD=∠BAC

　　亲又∠CEA的度数等于弧Cm坐妒善守述课员A的度数的一半

　　∴增毫弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

　　(3)圆心O在∠BAC的外部

　　过A作直径AD交⊙O于D，连接CD

　　∵AD是圆的直径

　　∴古源剧液资∠ACD=90°

　　∴∠CDA+∠CAD=90°

　　∵AB是圆O的切线

　　∴∠DAB=90°

　　∴∠BAC+∠CAD=90°

　　∴∠BAC=∠CDA

　　∵∠CDA的度数等于弧经夫行支地广CmA的度数的一半。

　　∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一亲白鱼省半。

弦切角定理逆定理

　　定理:以三角形任意一条边为邻边，在三角形促许响那孩环区长明还外部作一个角等于该边的对角，微洋推那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。

　　几何描述:设△ABP的外接边对众圆为⊙O，在△ABP外话注引套汽销部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙限美宗O于A。

　　注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。

　　该定理的等价描述为:角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。

　　几何描述:设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。

　　证明:如图，同样分类讨论

　　(1)当∠BPA=90°时，AB为直径。

　　∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC

　　经过直径的一端，并且与直径垂直的直线是圆的切线，∴AC是⊙O的切线，切点为A。

　　(2)当∠BPA<90°时，作直径AD，连接PD，则∠DPA=90°

　　∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB

　　∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB

　　即∠DAC=∠DPA=90°

　　由(1)得AC与⊙O切于A

　　(3)当∠BPA>90°时，作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°

　　∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD

　　∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD

　　即∠DAC=∠DPA=90°

　　由(1)得AC切⊙O于A

推论

推论内容

　　若两弦切角所夹的弧候如客天别脸层相等，则这两个弦切角也相等。

应用举例

　　例1:如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交于点C，求证:∠CAB=∠CBA。

　　解:∵AC、BC是⊙O的两条切线，

　　∴AC=BC(切线长定理)。

　　∴∠CAB=∠CBA。(等腰三角形"等边对等角")。

　　例2:如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点来自A的圆与BC相切于点D，与360百科AB，AC分别相交多单教观配于E，F.

　　求证:EF//BC.

　　证明:连接DF

　　∵AD是∠BAC的平分线

　　∴∠BAD=∠CAD

　　∵∠EFD=∠BAD

　　∴∠EFD=∠CAD

　　∵⊙O切BC于D

　　∴∠FDC=∠CAD

　　∴∠EFD=∠FDC

　　∴EF∥BC

　　例诉费能氧鲜广3:如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

　　求证:A胶具初侵景刻C平分∠MCD，BC平分∠NCD.

　　证明:∵AB是查粮操总例氧继⊙O直径

　　∴∠ACB=90

　　∵CD⊥AB

　　∴∠A+∠B=∠A+∠DCA

　　∴∠ACD=∠理B，

　　∵MN切⊙O于C

　　∴∠MCA=∠B，

　　∴∠MCA=∠ACD，

　　即AC平分∠MCD，

　　同理:BC平分∠NCD。