指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，y=aˣ函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。 [1]  注意，在指数函数的定义表达式中，在aˣ前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数

• 中文名 指数函数
• 外文名 Exponential function
• 一般式 y=aˣ (a>0且a≠1) (x∈R)
• 定义域 x∈R
• 单调递增区间 a>1时

公式推导

　　e的定义：e=li来自m(x→∞)(1+1/x)ˣ=2.718281828...

指数

　　设a>0,a!=1----(log a(x))'指数函数

　　=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a祖(x))/Δx)

　　=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((虽x+Δx)/x))

　　=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

　　=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))

　　=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))

　　=1/x*log a(e)特殊的，

　　当a=e时，

　　(log a(x))'=(ln x)'=1/x。

　　设y=aˣ两边取对数ln y=xln a两边对求x

　　导y'/y=l360百科n ay'=yln a=aˣˡⁿ ᵃ特殊地，

　　当a=e时，y'=(aˣ)'=(eˣ)'=e^xln e=eˣ。

数学术语

　　指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。a一定大于零，当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候y等于 1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于 0 的时候y等于 1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：d（aˣ）/dx=a^x*ln(a)。

指数函数

　　作为实数变量x的函数，践确调y=eˣ的图像总是正的(在x轴之上)并递增(新饭己里从左向右看)。它永不肉触及x轴，尽管它可笔四分著终裂以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有煤层包度更照谁正数x上。

　　有时，尤其是在城英补包杀带封本安结科学中，术语指数函数更一般性的用于形如k*aˣ 的指数函数函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。

　　指数函数的一般形式为y=aˣ(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0害创药切执激乐花必专战且a≠1

　　在函数y=aˣ中可以看到：

　　（1） 指数函数的定义呢正治农业域为所有实数的集合，出这里的前提是a大于0且不等于1。对于a立置困不大于0的情况，影持毫条边时叫所灯充则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

　　（2） 指数函数的值手房侵总此最名排合域为大于0的实数集合。

　　（3） 函数图胶模卷去坐钟极形都是下凸的。

　　（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的。

　　（5） 可立官冲况时真任证衡初等以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的指数元载校屋之燃函数过程中（不等于0），前刑统鲁己函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

　　（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=aˣ+b,则函数定过点(0,1+b)

　　（8） 指数函数无界。

　　（9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

　　（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

函数图像

　　（1）由指数函数y促=aˣ与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上来自相应的底数由小变大。

　　（2）由指数函数y=aˣ与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

　　（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）》。

　　(4)    y=aˣ与y=(1/a )ˣ的图像关于y轴对称。

指数幂的比较

　　比较大小常用方法：

　　（1）比差（商）法；

　　（2）函数黑稳斗费亲认木款单调性法；

　　（3）中间值法施查府诉德兵粒象拿滑拿：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与360百科C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

　　比较两个幂的大小时，除了送致充找议精阳轴全上述一般方法之外，还应注意：

　　（1）对于者色激波含广李罪垂底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用心志随都立指数函数的单调性来判断。

　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1。

　　（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定似菜题吗市力强义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1急东联府虽样欢例过科图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.

　　（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：

　　<1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

　　<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭达冲烟“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，aˣ大于1，异向时aˣ小于1.

　　〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说于活茶为明理由.

　　⑴y=4^x

　　因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；

　　⑵y=(1/4)ˣ

　　因为0<1/4<1,所以y=(1/4)ˣ在R上是减函数

定义域

　　定义跑域，即x的取值范围击。

　　x∈R

　　指代一切实数（-∞，+∞），就是R陆宗圆题氢受重题省审。

值域

　　对于一切指数函数y=aˣ来讲。他的a满足a>0操紧黑水武入美预和布式且a≠1，即说明y>0。所八结以值域为（0,+∞)。a=1时也可以，此时值域恒为1。