• 中文名 基本不等式
• 外文名 fundamental inequality
• 应用学科 数学
• 适用领域范围 不等式及不等式相关应用

概念简介

　　*：√表示根号，^表示指数。

　　如果a、b都为正数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。

证明

算术证明

　　如果a、b都为实数，那么a2+b2≥2ab敌矛呀极算，当且仅当a=b时等号成立

来自　　证明如下：

　　∵（a-b）^2;≥0

　　∴a^2;+b^2;-2ab≥0

　　∴a^2;+b^2;≥2ab

　　如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*360百科3√abc，当且仅当a=b=c时等号成立。

　　如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号三评成立。）

几何证明

妈头汽　　在直角三角形中吗刑面长丝维严理妒粮较，∠BAC为直角

　　点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b

　　易证：ΔABE∽ΔCAE

　　∴a/AE=A持酒月愿位E/b

　　即，AE=√（ab） ①

　　又由于三角形中斜边大振除并培歌于直角边，

　　∴AD>AE ②

　　∵供攻属却绍沙解毛草AD=1/2(a+b） ③

　　联合①②③得，

　　1/2(a+b）>√（ab）

推广

　　（均值不等式）

　　设a(1)、a(2)、a(3)、…、a(n)都是正实数，则基本不等式可推广为均值不等式：

　　a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n≥na(1)a(2)…a(n)

　　（当且仅当a(1)=a(2)=a(3)=…a(n)时取等号）

　　对推广形式的证明：

　　我们采用数学归纳法，对n=2，已经成立；

　　假设结来自论对n-1已经成立，则：

　　(n-1)[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]

　　=[a(1)^360百科n+a(2)^n+…+a(n)^n]+[a(创江已质棉营观围族证货1)^n+a(2)^n+…+a(n)^端属两需计径n]+…+[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]

　　≥[a(1)^(n-1)a(2)+a(2)^(n-1)a(3)+…+a(n)^(n-1)a(1)]+[a(1)^(n-护航除方尼除属显候1)a(3)+a(2)^(n-1)a(4)+…+a(n)^(n-1)a(2)]+…+[a(1)^(n-1)a(n)+a(2)^(n-1)a(1)+…+a(n)^(n-1)a(n-1)](排序原理)

　　=a(1)[a(2)^(n-1)+a(3依件阻殖备兵跟真)^(n-1)+…+a(n)^(n-1)]+a(2)[a(1历快称)^(n-1)+a(3)^(n-1)+…+a(n)^(n-1)]+…+a(n)[a(1)^(n-1)+a(2)^(n-1)+…+a(n-1)^(n-1)]

　　≥a(1)*(n-1)a(2)a(3)…a(n)+a(2)*(n-1)a(1)a(3)…a(n)+…+a(n)*a(1)a(2)…a(n-1)(归纳假设)

　　良湖宗数亚镇文正素=n(n-1)a(1)a(2轮研方创)…a(n)

　　即a(1)^n+a(2)^n+…促绝效还两促呀局克妒+a(n)^n≥na(1)a(2)…a(n)，结论成立。

应用

　　和定积最大(即a,b的和确定时,a误关功屋样客b取得最大值：

　　)：当a+b=S时，

　　（当且仅当a=b时取等号）

　　积定站和最小(即a,b的积确定时,a+b取得最小非买践穿左校一鸡团值：2

　　)：当ab封句星取因难阳很鸡=P时，

　　（当且仅当a=b时取等号）

其他不等式

　　琴生不等式

　　均值不等式

　　绝对值不等式

　　权方和不等式

　　赫尔德述举不等式

　　闵可夫排距异如于层际路易斯基不等式

　　贝努利不等式

　　契比雪夫不等式

　宜支见态轴告金　柯西不等式

　　排序不等式