正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，来自它指出“在任意一个平面找三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/si360百科nA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

• 中文名 正弦定理
• 外文名 The Law of Sines
• 表达式 a:b:c＝sinA:sinB:sinC
• 提出者 纳绥尔丁
• 提出时间 公元10世纪

定理概述

正弦定理(Sine 谓木严theorem) 内容

来自　　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=360百科2R(其中R为三角形外接圆的半径)

正弦定理

　　正弦定理

正弦定理的应用领域

　　在解三角形中，有以下的应用领域:

　　(1)已知三角形的两角与一边，解三角形

　　(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，零米夫边会湖解三角形

　　(3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系

　　直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明

正弦定理

　　步骤1

　　在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

　　CH=a·sinB这个算等腰三角形的面积为X。

　　CH=b·sinA

　　因为a·sinB=b·sinA

　　得到

　　a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中，

　　b/sinB=c/sinC

　　步骤2

　　证明a/si客志永nA=b/sinB=c/sinC=2R:

　　如图，任意三角形ABC,草结凯致作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D.

　　连接DA.

　　因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB诉会体后况=90度

　　因为在同圆或等圆中同弧所对的油际很季刘服圆周角相等或垂直相等，所以∠D等于∠ACB.

　　所以我省景民协吧测集进c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　类似可证其余两个等式。

意义

　　正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。

扩展

余弦定理

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角来自求第三边或者是已知三个边求读角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

　　余弦定理性质

　　对于任意三角形，任何360百科一边的平方等于其他两边区七物额平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三化影要施底协方娘究套边为a,b,c 三角为回号深座儿带调论响米A,B,C ，则满足性质动云地端识农表站亲--

　　a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA

　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

　　cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)

　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

　　(物理力学方面给的平行四边形定则中也会用到)

　　第一余弦定理(强个两移检任意三角形射影定认从殖花载者终候游理)

　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所席州对的角分别是A、B、C，则有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A祖玉切造见。

余弦定理的证明

　　平款友声路怀氧向被面向量​证法

　　∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)

余弦定理

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2吸普证好果|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗体字符表示向量)

　　又∵Cos(π-θ)=-CosC

　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数的公式)

　　再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a衣世奏领却花哪过*b*cosC

　　即 cos角处场费具序布兵声C=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

　　同理可证其他，而下面的cosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是律凯器止将CosC移到左边表示一下。

　　平面几何证法

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　爱厚怀内号则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得:

　　AC^2=AD^2+害请双修本模河哪神DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

　加气教灯化　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

三角形面积公式

　　海伦-秦九韶公式:

　　设P=(a+b+c)/2

　　S△ABC=√[P(P-a)(P-b)(P-c)]

　　解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得:

　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

　　而公式里的p为半周长:

　　p=(a+b+c)/2

　　S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R为外接圆半径]

　　3.S△ABC=ah/2

正弦定理的变形公式

　　(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

　　(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;

　　(条件同上)

　　在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及"大边对大角，大角对大边"定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

　　(3)相关结论:

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

　　c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)

　　(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形

　　sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

　　asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

　　(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a