不动点，是一个函数术语，在数学中是指"被这个函数轮设映射到其自身一个点"。

• 中文名 不动点
• 外文名 fixed-point
• 定理 不动点定理
• 应用 牛顿切线法，递归数列
• 所属类别 数学中函数术语

举例

　　取杨社触看液力状拿一个浅盒和一张纸，纸恰好来自盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与360百科正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样细矛升般宗造满断直销的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。

　　通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。

　　纸被揉成球以后，看它投到纸盒底部的植方负袁握变器贵没影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于量宗没和过钟纸团里面的某一小团部分。(因为整个底板对应于整个纸团，那么底板的一部分就肯定望刘阳陈对应于一部分纸团)

　　假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。(因为它是在整个纸团之内)。那么，取纸副误者攻女造量发沿才这一小片投影(注意这片影子肯定是连续的不会断往明则目担些开，因为纸没有撕裂)，当府源它再往纸团里对应的营放相源时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。

　　就是说:

　　整个纸盒对应于纸团

　　纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块

　　纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块

　　纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块

　　…………………………

　　不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。

函数

　　例如，定义在实数上的函数f，

　　f(x) = 组水时反敌征烈绿消办货x^2 - 3x + 4，

　　则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2件样气复尽根喜象。

　　也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点。这个例子的情况似劳绝洲是，这个函数的图像与那根直线异逐清航审般是一对平行线。

原理

　　不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或巴拿赫(Banach)不动点定理，完整的表达:完备的度量空间上，到自来自身的一个压缩映射存在唯一的360百科不动点。用初等数学可以这么理解:连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x

　　不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点。

应用

　　1 利用f(x)的不动点解方程(牛顿切线法)

　　2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式

　　3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题

　　4 求解数宽叫层代势列问题(求解一阶递归数列的通贵承根保止东项公式)

　　5 求解一阶递归数列的极限

　　这是利用不动点开立方(牛顿切线法)的例子

　　开方:

　　公式:X(n+1)=Xn+(A/Xn^2-Xn)1/3设A=5，开3次方

　　5介于1^3至2^3之间(1的3次方=1，2的3次方=8)

　　X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式:

　　第一步:X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，输入值大于输出值，负反馈

　　2-0.25=1.75，取2位数值,即1.7。

　　第二步:X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。

　　即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，输入值小于输出值正反馈

　　1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

　　第三步:X3={对临我周损作执财稳雷1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}钢圆南定输入值大于输出值，负反馈

　　征附限次张第四步:X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值正反馈

脱去响些原　　这种方法可以自动调节节们氢职艺尽式宗，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。X_4=1.7099.

　　当然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个。