• 中文名 杨辉三角
• 外文名 Pascal Triangle
• 别称 贾宪三角形、帕斯卡三角形
• 提出者 贾宪
• 提出时间 约1050年

简介

　　看红烧率介急杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所来自著的《详解九章算术》（1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律。

杨辉三角形

历史

　　北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

　360百科　杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

　　元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。

　　意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

　　在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

　　布莱士·帕斯陈秋投子强李类吸广三卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655协课土低松花年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于应江倒案技宜济亮括议它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影握止钱较握响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这鲜时统个三角形。

　　近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Ch因配少烈段激北裂胶假副inese triangle）

　　历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家

　　·贾宪 中国北宋 11世纪 《可七采积释锁算术》

　　·杨辉 重互素内中国南宋1261《详解九章算法》记载之功

　　·朱世杰中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式

　　·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙运我维占型常》

　　·阿皮亚纳斯德国 高1527

　　·米歇尔`斯蒂费尔德国 1544《综合算术》二项式展开式系数

　　·薛贝尔 法国 1545

　　·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

　　其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处艺用编于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

应用

　　性质来自6和性质7是杨辉三角360百科的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。

　理细上剂感目代海　与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

　　例如，在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，

　　即(a+b)²;=a征运拉²+2ab+b²

　　第4行的四换合个数恰好依次对应两数和美督校会留很行科编克的立方的展开式的每一项的系数

　　即(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

　　以此类推。

尔贵千责农联仍放　　又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个思触早架职练商直传低好元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ×bº+C(n,1)a^(n-1)×b¹+..束陈学普你带.+C(n,r)a^(n-r)×b^r...+C(n,n)aº×bⁿ

　　因此，二项式补久解略赶业角将的向界定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系损合阶向了百扬觉算数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

数在杨辉三角中的快外真是型张出现次数

　　由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A0030神李声庆控掌威爱异16）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OE尔负算望这命喜IS:A062527）

发型跟调就息和黑　　除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）

　　因为丢番图方程 

　　有无穷个解，所以出现至少面料诉坐香口决车球样六次的数有无穷个多。解为

　　，其中Fn表示宗永振家建守个裂联第n个斐波那契数（F1=席F2=1）。

　　3003是第一绍式复确说频齐慢叫个出现八次的数。

轴秋起该历史沿革

　　北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

　　杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

　　元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。

　　意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

　　在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

　　布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

　　21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）

　　历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：

• 贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
• 杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功
• 朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
• 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
• 阿皮亚纳斯 德国 1527
• 米歇尔.斯蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
• 薛贝尔 法国 1545
• B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

　　其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

在编程中实现

　　杨辉三角在编程实现中较为容易。最常见的算法便是用上一行递推计算；也有运用和组合的对应关系而使用阶乘计算的，然而后者速度较慢且阶乘容易溢出。编程的输出大多相类，此处并不过多添加截图。

　　C、C++、C#、Java 语言之间的语法也大多相类，因此这里也不会将每一种算法都在这些语言中各实现一遍。要在这些语言的版本间修改，实际上只需注意一些简单的语法和函数名称的改变，如 C 的 int yh[M][M] 应改写为 Java 的 int[][] yh = new int[M][M]、C# 的 int[,] yh=new int[M,M]；C printf 应使用 Java 的 System.out.print、C# 的 Console.Write 、C++ 中更智能的 cout 来替换。